دروس في الاحتمالات + تمارين تطبيقية

الاحتمال الشرطي
- تعريف : في فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) نسمي التابع :

تابع الاحتمال الشرطي بالنسبة إلى الحدث B .
ويقرأ احتمال A علماً أن B قد وقع .
- نتائج :
1 ) بما أن تابع احتمالي فإن جميع خواص تابع الاحتمال محققة ومنها :


2 ) إذا كان حدثين من فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) ، وكان عندئذ :
- إذا كان فإن :
- إذا كان فإن :
-
ويمكن تعميم هذه الخاصة على عدد منته من الأحداث ، فإذا كانت :
، وكان و فإن :

















[ 1 ] ليكن A , B حدثين من فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) بحيث :

والمطلوب حساب :




نعوض ( 3 ) في ( 1 ) :
نعوض في ( 3 ) :
نعوض في ( 2 ) :








[ 2 ] في تجربة رمي قطعة نقود ثلاث مرات ، ما احتمال الحصول على شعار في الرمية الثالثة علماً أننا حصلنا على
شعار في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية .
الحصول على شعار في الرمية الثالثة A = {( H , H , H ) , ( H , T , H ) , ( T , H , H ) , ( T , T , H )}
الحدث الذي وقع هو B = {( H , T , H ) , ( H , T , T )}
إذن :
[ 3 ] في تجربة رمي حجري نرد معاً مرة واحدة . المطلوب :
1 ) احتمال ظهور الوجه ذي النقط الثلاث علماً بأن مجموع نقاط الوجهين الظاهرين 8 ؟
2 ) احتمال أن يكون مجموع نقاط الوجهين الظاهرين 8 علماً بأن عدد نقاط أحد الوجهين الظاهرين فردي ؟





[ 4 ] يحوي صندوق 8 كرات ( 5 بيضاء و 3 حمراء ) سُحب من الصندوق عشوائياً كرتان معاً . ما احتمال أن
تكون الكرتان المسحوبتان حمراوان إذا علمت أن الكرتين المسحوبتين كانتا من لون واحد .
بفرض الحدث A : الكرتان حمراوان ، B : الكرتان من لون واحد .



[ 5 ] أجري فحص الزمرة الدموية لطلاب مدرستين ( I ) و ( II ) فكانت لدينا النتائج التالية :
المجموع AB B A O الزمرة الدموية
457 97 142 138 80 المدرسة I
582 100 172 180 130 المدرسة II
1039 197 314 318 210 المجموع



اخترنا طالباً عشوائياً والمطلوب :
1 – ما احتمال أن تكون زمرة دمه AB علماً بأنه من المدرسة I ؟
2 – ما احتمال أن يكون من المدرسة II علماً بأن زمرة دمه O ؟
3 – ما احتمال أن يكون من المدرسة I أو زمرة دمه A ؟
1 ) الحدث الواقع هو طلاب المدرسة ( I ) وعددهم 457 منهم 97 يحملون الزمرة AB إذن :
2 ) الحدث الواقع هو زمرة الدم O وعددهم 210 منهم 130 من طلاب المدرسة ( II ) إذن :
3 ) الحدث المطلوب إذن :


[ 6 ] صندوقان ( I ) و ( II ) يحوي الصندوق ( I ) ( 6 برتقالات و 5 تفاحات )
يحوي الصندوق ( II ) ( 8 برتقالات و 6 تفاحات )
يسحب طفل عشوائياً من أحد الصندوقين حبة واحدة . والمطلوب :
1 – ما احتمال أن تكون الحبة المسحوبة برتقالة ؟
2 – إذا كانت الحبة المسحوبة تفاحة فما احتمال أن تكون من الصندوق ( II ) ؟
1 - بفرض الحدث A الحبة المسحوبة برتقالة يكون :

2 - الحدث الواقع B هو الحبة المسحوبة تفاحة فيكون :







الاستقلال الاحتمالي
- تعريف : في فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) نقول عن الحدثين A , B أنهما مستقلان احتمالياً أو مستقلان إذا
تحقق الشرط :
- مبرهنة : إذا كان A , B حدثين من فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P )حيث فإن الحدثين A , B
مستقلين إذا وفقط إذا تحقق : الحدثان A , B مستقلان
@ مثال : في تجربة رمي قطعة نقود ثلاث مرات ليكن :
الحدث A ظهور شعار وكتابة ، والحدث B ظهور شعار واحد على الأكثر . برهن أن الحدثين A , B
مستقلان .
الحل :
S = {( H , H , H ) , ( T , H , H ) , ( H , T , H ) , ( H , H , T ) , ( T , H , T ) , ( H , T , T ) ,
( T , T , H ) , ( T , T , T )}

بالمقارنة نجد أن : فالحدثان A , B مستقلان .
- مبرهنة : في فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) ، إذا كان الحدثان A , B مستقلين فإن الحدثين A , B ' مستقلان .
- نتائج : في فضاء احتمالي ( S , P ( S ) , P ) ، إذا كان الحدثان A , B مستقلين فإن :
الحدثين A ' , B مستقلان والحدثين A ' , B ' مستقلان .
* ملاحظة : هناك أحداث نقبل بأنها مستقلة مثل الأحداث في مسائل الرمي على هدف ، إلقاء قطعة نقود مرتين أو أكثر
أو إلقاء حجر نرد مرتين أو أكثر ، والأحداث الناتجة عن تجربة يتم فيها السحب بالتتالي مع الإعادة . . . . .